\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi0035.tex
Matlab/Maple/Mathematica\\  
% 
Hilbertin matriisi koostuu alkioista
$h(i,j)=1/(i+j-1)$.

Tällaisia syntyy mm. PNS-sovituksessa.

Tarkastellaan $4\times 4$ Hilbertin matriisia 
$$H=\left[ \begin {array}{cccc} 1&1/2&1/3&1/4\\ \noalign{\medskip}1/2&1/3
&1/4&1/5\\ \noalign{\medskip}1/3&1/4&1/5&1/6\\ \noalign{\medskip}1/4&1
/5&1/6&1/7\end {array} \right] $$

ja yhtälöryhmää $H\, x = b,$ missä $b=b_1=\left[0.95; 0.67; 0.52\right]$ 
ja   $b=b_2=\left[0.95; 0.67; 0.53\right]$ , ts $b_2=b_1+\left[0,0,0.1\right]$

Tarkoitus on tutkia, mitä pieni muutos systeemin datassa 
vaikuttaa ratkaisuihin.


\begin{itemize}
\item[a)]
Ratkaise molemmat systeemit.


Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?



\item[d)]
Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan \emph{häiriöalttiudeksi}
(\emph{``ill-conditioned ``}). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.

Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:

$$\frac{|| \Delta x||}{|| x ||} \leq \kappa \frac{|| \Delta b||}{|| b ||}$$

Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa $\kappa \times$ (datan suhteellinen 
virhe) ($\kappa = cond(A)$)

\end{itemize}

%\begin{vihje}
%\end{vihje}
%\vskip 2mm
%\hrule
%\begin{ratk}
%\end{ratk}
%\hrule
%\textbf{Avainsanat:}

\textbf{Luokittelu}: \\
\texttt{mplteht/mplLinis/mplLixx.tex}, \texttt{matlabteht/mlLinis/mlLixx.tex}\\
\textbf{Avainsanat:}\\ 
Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius


\end{tehtava}
\end{Tehtava}

