\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
Jos $f$ on analyyttinen, sille pätee Cauchyn integraalikaava, josta muuttujanvaihdolla saadaan
\[
f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z-z_0|} \frac{f(z)}{z-z_0}dz = \frac{1}{2\pi i} \int _0^{2\pi} \frac{f(z_0 -re^{it})}{z_0 + re^{it} -z_0}dt
\]
\[
 = \frac{1}{2\pi i} \int_0^{2\pi} f(z0 + re^{it})dt. 
\]

Gaussin keskiarvoperiaatteen nojalla analyyttisen funktion arvo pisteessä $z_0$ on laskettavissa ottamalla integraalikeskiarvo reunan ylitse. Intuitiivisesti keskiarvo on aina arvojen maksimin alapuolella. 

Tätä ajatusta noudattaen päästään seuraavaan: olkoon $f:U \rightarrow \mathbb{C} $ ei-vakio analyyttinen funktio alueessa $U$. Tällöin $z \mapsto |f(z)|$ ei periaatteen mukaan saavuta suurinta arvoaan alueessa $U$. Tutkitaan asiaa kokeellisesti: 
\begin{enumerate}
\item Piirrä funktion $f(z) = |e^z|$ kuvaaja alueessa $[-1,1] \times [-i,i]$. 
\item Piirrä funktion $f(z) = |\log(z)|$ kuvaaja alueessa $[1,10] \times [i,10i]$
\item Tutki vielä kuvauksen $z \mapsto |z^3|$ käyttäytymistä alueessaa $[-1,1] \times [-i,i]$.
\end{enumerate}
Kuinka maksimiperiaate ilmenee näiden funktioiden tapauksessa?


Maksimiperiaate pätee myös harmonisille funktioille: jos $f = u + iv$ on analyyttinen funktio, joka (vähintään lokaalisti) saadaan annetusta harmonisesta funktiosta $u$, niin funktion 
\[
F(z) = e^{f(z)}
\]
avulla saadaan maksimiperiaate pätemään funktiolle $u$, sillä $|F(z)| = e^u$. Tutki maksimiperiaatten toteutumista eksponenttifunktion reaali- ja imaginääriosille seuraavasti:

\begin{verbatim}
t  = -1:0.1:1;
[x, y] = meshgrid(t,t);
u = exp(x).*cos(y);
mesh(x,y,u);
v = exp(x).*sin(y);
mesh(x,y,v)
\end{verbatim}
\end{tehtava}
\begin{vihje}
  
\end{vihje}
\end{Tehtava}
