Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos

-e

mlFunktiot

1. Jos f on analyyttinen, sille pätee Cauchyn integraalikaava, josta muuttujanvaihdolla saadaan

f(z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z−z_{0}|} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz = \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{2π} \frac{f(z_{0} − re^{it})}{z_{0} + re^{it} − z_{0}} dt

= \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{2π} f(z0 + re^{it})dt.

Gaussin keskiarvoperiaatteen nojalla analyyttisen funktion arvo pisteessä z_{0} on laskettavissa ottamalla integraalikeskiarvo reunan ylitse. Intuitiivisesti keskiarvo on aina arvojen maksimin alapuolella.

Tätä ajatusta noudattaen päästään seuraavaan: olkoon f : U → ℂ ei-vakio analyyttinen funktio alueessa U. Tällöin z ↦ |f(z)| ei periaatteen mukaan saavuta suurinta arvoaan alueessa U. Tutkitaan asiaa kokeellisesti:

1. Piirrä funktion f(z) = |e^{z}| kuvaaja alueessa [−1, 1] × [−i, i].

2. Piirrä funktion f(z) = | log(z)| kuvaaja alueessa [1, 10] × [i, 10i]

3. Tutki vielä kuvauksen z ↦ |z^{3}| käyttäytymistä alueessaa [−1, 1] × [−i, i].

Kuinka maksimiperiaate ilmenee näiden funktioiden tapauksessa?

Maksimiperiaate pätee myös harmonisille funktioille: jos f = u + iv on analyyttinen funktio, joka (vähintään lokaalisti) saadaan annetusta harmonisesta funktiosta u, niin funktion

F (z) = e^{f(z)}

avulla saadaan maksimiperiaate pätemään funktiolle u, sillä |F (z)| = e^{u}. Tutki maksimiperiaatten toteutumista eksponenttifunktion reaali- ja imaginääriosille seuraavasti:

t  = -1:0.1:1;
[x, y] = meshgrid(t,t);
u = exp(x).*cos(y);
mesh(x,y,u);
v = exp(x).*sin(y);
mesh(x,y,v)

Vihje:

2. On esitetty, että jatkuva funktio f : [0, ∞) → [0, ∞), joka toteuttaa ehdot 1. f(2x) = 2f(x), and

2. f(1) = c on aina muotoa f(x) = cx. Tälle on kuitenkin esitetty seuraava vastaesimerkki:

f(x) = 2^{−n} x^{2} + 2^{n+1} , x ∈ [2^{n}, 2^{n+1} ),

n = …, −2, −1, 0, 1, 2, . . .. Kirjoita funktio f MATLABissa ja piirrä sen kuvaaja.

Vihje: Tehtävän tarkoitus on opastaa MATLABin katto- ja lattiafunktioiden käytössä. Nämä ovat nimeltään floor ja ceil - katso tarkempia tietoja MATLABin helpistä.