Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos

-e

mlDiffint

1. Muista, että funktion f derivaatta pisteessä x_{0} määritellään seuraavasti:

f′(x_{0}) = lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h} .

Kuinka laskisit derivaatan numeerisesti? Kirjoita MATLAB funktio joka laskee annetun funktion derivaatan.

Kokeile laskea funktion f(x) = sin(x) ja vertaa saamaasi tulosta derivaatan tarkkaan arvoon f′(x) = cos(x). Tuottaako pienempi h:n arvo parempia tuloksia?

Keksitkö keinoa jolla laskea toinen derivaatta numeerisesti? Entä vektorifunktioiden derivointi?

Vihje: Muista, että alkioittaiset operaatiot ilmoitetaan pisteellä.

2.

Ohjelmat: Maple,Mathematica , Matlab (erityisesti b)-kohta).

(Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex)

Laske integraali

∫_{0}^{2π} \frac{cosx}{13 − 12 cos2x} dx

a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

Vihje: Mathematica: Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation Notes. Maple: Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa.

Matlab: Integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi). Sitten quad-alkuiset Matlab-funktiot.

Luokittelu:

mplteht/mplDiffint/mplxx.tex, matlabteht/mlDiffint/mlDixx.tex
mmateht/mmaDiffint/mmaDi100

Avainsanat: Symbolinen integrointi, numeerinen integroinit, funktiot, lausekkeet

3. mmaDi104/mplDi11/mlDi11 Määritä funktion f(x) = arcsin(2x\sqrt{1 − x^{2}} ) suurin ja pienin arvo välillä [−1, 1].

Vihje: arcsin on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin. Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diffistekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace kapeammalla välillä, find, ...