\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
Tässä tehtävässä mallinnetaan lyijyn kulkeutumista elimistöön ja
sieltä pois. Ratkaistavaksi tulee epähomogeeninen differentiaaliyhtälöryhmä.

{\bf Taustaa.} Lyijyä kulkeutuu ihmiselimistöön hengityksen, ruoan ja juoman kautta. Keuhkoista ja vatsalaukusta lyijy kulkeutuu nopeasti verenkierron mukana maksaan ja munuaisiin, ja imeytyy edelleen hitaasti muihin pehmytkudoksiin ja hyvin hitaasti luustoon. Se kulkeutuu elimistöstä pois pääasiassa virtsan mukana, mutta myös hikoilun, hiusten ja kynsien kautta (ks. kuva):
\begin{center}
\includegraphics{./img/osastot.eps}
\end{center}

Mallinnamme ihmiselimistöä eri {\it osastoina} (veri, pehmytkudokset, luusto).
Funktio $x_i(t)$ $(i=1,2,3)$ merkitsee lyijypitoisuutta osastossa $i$ hetkellä
$t$. Pitoisuuden yksikkö on mikrogramma ja ajan vuorokausi. Oletamme, että
{\bf lyijyn virtausnopeus osastosta $i$ osastoon $j$ on suoraan
verrannollinen pitoisuuteen $x_i(t)$ kertoimella $a_{ji} > 0$.} Ulkomaailmalle
on oma osastonsa, jotta mallista saadaan mielekäs, mutta emme ole kiinnostuneita
ulkomaailman lyjypitoisuuksista. Lisäksi oletamme, että {\bf lyijyn virtaus
ulkomaailmasta elimistöön tapahtuu vakionopeudella $L$} -- tämä ilmenee
yhtälöryhmän oikeana puolena kuten pakottava voima massa-jousi-systeemeissä
eikä siis liity ulkomaailman osastoon.

{\bf 1. Matriisimuotoilu.} Edellisen sivun mallista saadaan epähomogeeninen
differentiaaliyhtälöryhmä
\begin{equation}
\label{ryhma}
\mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t) + \mathbf{b},
\end{equation}
missä
\[
  A = \left[\begin{array}{rrr}
-(a_{01}+a_{21}+a_{31}) & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & -(a_{02}+a_{12}) & 0 \\
a_{31} & 0 & -a_{13}
 \end{array}\right] 
\]
ja $\mathbf{b} = (L,0,0)$.

\begin{itemize}
\item Selitä edellisen sivun mallin perusteella miksi matriisi $A$ ja vektori
$\mathbf{b}$ ovat kuten yllä.
\item Miksi matriisi $A$ on aina kääntyvä? (Ks. Matlab-tiedosto.)
\item Etsi differentiaaliyhtälöryhmälle \eqref{ryhma} erityisratkaisu
$\mathbf{x}_e(t)$.
\end{itemize}

{\bf 2. Käytännön esimerkki.} Tutkijat mittasivat
pitkän aikavälin lyijypitoisuuksia vapaaehtoisen, terveen kaupunkilaismiehen
(Los Angeles) veressä, luustossa ja kudoksissa. Mittausten pohjalta saatiin 
$L = 49,3$ mikrogrammaa / päivä ja seuraava taulukko (yksikkönä 1/päivä):

\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
$a_{21}=0,011$, & $a_{12} = 0,012$ & (verestä kudoksiin ja takaisin) \\
$a_{31}=0,0039$, & $a_{13} = 0,000035$ & (verestä luihin ja takaisin) \\
$a_{01}=0,021$, & $a_{02} = 0,016$ & (poistuma verestä ja kudoksista)
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Syötä ylläolevat arvot matriisiin $A$.
\item Laske uudelleen kohdan 1 yksittäisratkaisu $\mathbf{x}_e$. 
\item Etsi homogeeniselle differentiaaliyhtälöryhmälle $\mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t)$ yleinen ratkaisu $\mathbf{x}_h(t)$.
\item Mikä on epähomogeenisen differentiaaliyhtälöryhmän \eqref{ryhma}
yleinen ratkaisu?
\item Ratkaise \eqref{ryhma} alkuarvolla $\mathbf{x}(0) = 0$, ts. määritä
kehon lyijypitoisuudet ajan funktiona tapauksessa, jossa henkilö on
juuri muuttanut Los Angelesiin keho vailla lyijyä.
\end{itemize}
\end{tehtava}
\end{Tehtava}