\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlD105.tex \\
Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä 
\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -\sigma x+ \rho y \\
\frac{dy}{dt} = \sigma x -y-xz \\
\frac{dz}{dt} = -\beta z + xy \\
\end{cases}
\]
numeerisesti välillä $[0,20]$, kun $\sigma = 10, \rho = 28 \text{ ja } \beta  = 8/3$. Piirrä ratkaisukäyrät samaan kuvaan, ja piirrä käyrät $x(t)$ ja $z(t)$ parametrisesti. Tämän jälkeen piirrä 3-ulotteinen parametrisoitu käyrä kaikista koordinaateista. 

Onko ratkaisu rajoitettu? Suppeneeko se kohti jotain arvoa? 

Kokeile muuttaa alkuarvoja, sekä parametrien arvoja. Vallitsevan teorian mukaan systeemi on \textit{kaoottinen dynaaminen systeemi}, jonka käyttäytyminen voi muuttua merkitsevästi jo pienistä muutoksista lähtötilanteessa; itse asiassa termi perhosvaikutus keksittiin kuvaamaan juuri tämän systeemin käytöstä.  
\end{tehtava}
\begin{vihje}
Kolmiulotteinen parametrisoitu käyrä (tai pistejoukko) piirretään MATLABissa funktiolla \texttt{plot3}. 
\end{vihje}
\end{Tehtava}

