\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mplD007.tex 
(iv3/2001, harj. 2, AV teht. 1)\\
Ratkaise (AA)-tehtävä $y' - 2 x y = 1,\ \ y(0)=-0.5$

Tässä näyttää siltä, että (EHY):n erikoinen olisi helppo löytää, mutta
huomaat pian, että luonnolliset yritteet eivät toimi.
(Kyseessähän on lineaarinen, mutta ei-vakiokertoiminen yhtälö.)

Ratkaise vaan sitten kiltisti integroivan tekijän menettelyllä.

Integrointi johtaa {\it erf}-funktioon, Maple antaa sen suoraan,
voit myös konsultoida KRE-kirjaa hakusanalla {\it erf}. Lausu siis
ratkaisu {\it erf}:n avulla.

Piirrä suuntakenttäpiirros
Maplen {\tt DEtools}-pakkauksen {\tt DEplot}-funktion avulla
(kts [HAM] s. 169), voit toki käyttää myös Matlab:n dfield8-funktiota
(ohje alla).

Valitse alkuarvoja $y_0$ väliltä $(-1,-0.5)$ yrittäen löytää kriittistä
arvoa $y_0$, joka jakaa ratrkaisukäyrät plus tai miinus ääretöntä 
lähestyviin.
(Tuo kriittinen ratkaisukäyrä on rajoitettu.) 
Käytä hyväksesi {\it erf}-funktion
ominaisuutta $\lim_{x\to \infty} erf(x) = 1$ laskeaksesi tarkan arvon $y_0$:lle.


\begin{vihje}
dfield-ohje:
Hae m-tiedosto \emph{dfield8} sivulta \verb_http://math.rice.edu/~dfield/_ ja
sijoita se Matlab-polkusi varrelle. \\
Kirjoita Matlab-istuntoon : \verb_dfield8_ \\
\end{vihje}
%\vskip 2mm

%\begin{ratk}
%\end{ratk}


\textbf{Avainsanat:} MapleDy, diffyhtälöt,erf, mplDifferentiaali(yhtälöt)

\textbf{Viitteet:}
\texttt{[KRE]}
E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, Wiley\\
\texttt{[HAM]}
Heikki Apiola:
Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.

\end{tehtava}
\end{Tehtava}

