\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlD004.tex [Maple-versio: ...mplD004.tex] 
(iv3/2001, harj. 1, LV teht. 1-2)\\

Laskuvarjohyppääjän yhtälö. Oletetaan, että hyppääjän + varustuksen
massa = $m$ ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön, olkoon
verrannollisuskerroin $=b$.
Tällöin Newtonin 2. laki antaa liikeyhtälön:

$$mv'=mg - b v^2 .$$

Olkoon yksinkertaisuuden vuoksi $m=1, b=1$ ja $g=9.81 m/s^2$. 

Piirrä suuntakenttä.

Oletetaan, että laskuvarjo aukeaa, kun $v=10 m/s$, valitaan tämä 
alkuhetkeksi $t=0$. Piirrä tämä ratkaisukäyrä suuntakenttäpiirrokseen.
Yritä nähdä suuntakentästä, että kaikki ratkaisut näyttävät lähestyvän
rajanopeutta $v\approx 3.13$ ja että ratkaisut ovat joko kasvavia tai
pieneneviä (ja millä alkuarvoilla mitäkin, ja mitä tarkoittaa 
fysikaalisesti)

Määritä rajanopeus suoraan yhtälöstä.

Käytä Matlab-piirroksiin funktiota {\tt dfield8} ja Maplessa DEtools-kirjaston 
DEplot-funktiota.

\begin{vihje}
Kts. [HAM] ss. 169-170 tai \texttt{?DEplot}
\begin{verbatim}
> with(DEtools)
> with(plots)
\end{verbatim}
Suuntakenttään:\emph{DEplot}, \\ 
grafiikkojen yhdistämiseen: \emph{display}.\\
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim} 
dfield-ohje: \\
%\includegraphics[scale=0.5]{img/teht6.eps}
% Vain testi, ei liity tähän tehtävään


Hae m-tiedosto \emph{dfield8} sivulta \verb_http://math.rice.edu/~dfield/_ ja
sijoita se Matlab-polkusi varrelle. \\
Kirjoita Matlab-istuntoon : \verb_dfield8_ \\
\end{vihje}
%\vskip 2mm

%\begin{ratk}
%\end{ratk}


\textbf{Avainsanat:} MatlabDy, MapleDy, diffyhtälöt, suuntakenttä, isokliinit, mplDifferentiaali(yhtälöt),
mlDifferentiaali(yhtälöt) 

\textbf{Viitteet:}
\texttt{[HAM]} Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998

\end{tehtava}
\end{Tehtava}

