\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlD003.tex  (iv3/2001, harj. 1, teht. 3) (Jatkoa: mlD007.tex)\\
Lisääntymiskykyinen populaatio, jonka lisääntymistä rajoittavia tekijöitä
ei ole, noudattaa yleensä likimain {\it Malthus'n} lakia, ts. nykyhetkellä
kasvunopeus on verrannollinen populaation nykykokoon.

Muodosta ilmiölle differentiaaliyhtälömalli ja ratkaise.

Ratkaisussa esiintyy vakiot $y_0$ = populaation koko alkuhetkellä ja
$k$ = "lisääntymiskykyvakio". 

Täydennämme vanhaa tuttua USA:n väkilukutaulukkoa arvoilla, jossa
toinen rivi ilmaisee väkiluvun miljoonissa  ja ensimmäinen vuosiluvun.

\begin{verbatim}
1800    1830      1860     1890    1920    1950    1980
5.3      13        31       63      106     150     230
\end{verbatim}

a)
Määritä  $k$ kahden ensimmäisen datasarakkeen avulla.
Tutki, mihin vuosilukuun saakka malli antaa siedettävän tuloksen ja mistä alkaen sietämättömän.

b) 
Määritä $k$ ensimmäisen ja viimeisen datasarakkkeen perusteella (jolloin kyseessä ei enää ole tulevaisuuden ennustaminen),
ja tutki tämän mallin käyttäytymistä muissa datapisteissä.

c)
Havainnollista kuvilla, käytä tarpeen mukaan logaritmista skaalaa.

% Vrt. Heikkilä: Matem. mallinnus s. 11 alh.
%{\bf Otetaan tähän liittyvä PNS-sovitus LV-tehtäväksi.}
\begin{vihje}
Voit valita ajan $0$-hetken vuosiluvuksi $1800$ (miksi?). Toki ei mitenkään välttämätöntä.
\end{vihje}

\textbf{Vaikeus} 2 

\textbf{Tehtävän Latex-koodi:} \\ 
%\url{../matlabteht/mplDifferentiaali/mplD003.tex}
\texttt{../matlabteht/mplDifferentiaali/mplD003.tex}

\textbf{Ratkaisu:} (Ei vielä) \\
%\href{../matlabteht/mlDifferentiaali/mlD003R.pdf}{pdf-muodossa}\\
\texttt{../matlabteht/mlDifferentiaali/mlD003R.pdf}{pdf-muodossa}\\
%\href{../matlabteht/mlDifferentiaali/mlD003R.m} {m-tiedosto}
\texttt{../matlabteht/mlDifferentiaali/mlD003R.m} {m-tiedosto}

\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}
  \begin{itemize}

\item
  \texttt{../maltabteht/mlDifferentiaali/apusrc/mlD003A.mw}{(Ei ole) Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mplD000x.tex-tiedostoon)
\item
\texttt{../matlabteht/mlDifferentiaali/apusrc/mlD003Aope.tex}{(Ei ole) Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}

\end{itemize}


\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}

\begin{enumerate}

\item Perusesim tähän kohtaan:\\
In 1980 the population of Atlantia was 254512; in 1995 it was 294726. What is its population in 2000.
(Vuosilukuihin voisi lisätä nyt vaikka 15.)

\item Jatkoa: mlD007.tex

\item
\texttt{http://matriisi.ee.tut.fi/~piche/ode/\_Pichet: TTY 1999, course 73107 (hyvä 
kokonaisuus)}

\end{enumerate}


\textbf{Avainsanat:}MatlabDy, diffyhtälöt, diffyhtalot, mlDifferentiaali(yhtälöt), 
populaationkasvumalli, {\it Malthus'n} laki

\end{tehtava}
\end{Tehtava}

