\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlCF01.tex [Maple: ../../mplteht/mplCurveFit/mplCF01.tex]

\textbf{Hermiten interpolaatio:} Interpolaatioehdoissa esiintyy my\"os derivaattoja.

\textbf{Opettajalle:} 
\emph{Teht\"av\"an alkuper\"ainen tarkoitus on demonstroida luontevaa, nautittavaa \textbf{Maple}-ty\"oskentely\"a. Sopii my\"os oikein hyvin \textbf{Matlab}-teht\"av\"aksi. Matlabissa on valmiina polyder-funktio, jonka ohjelmointi on
 sin\"ans\"a my\"os oikein sopiva pikku harjoitusteht\"av\"a. T\"ass\"a 
tehtävässä ei ole tarvetta/syyt\"a k\"aytt\"a\"a symbolic toolboxia.}

M\"a\"arit\"a 4. asteen polynomi $p$, joka toteuttaa ehdot:
$$p(0) = p'(0)= 1, p(1)=p'(1)=p''(1)=2.$$

(a) K\"asittele polynomi lausekkeena. \\
Tarkista tulos sopivasti \texttt{subs}-komennoilla ja piirr\"a kuva/kuvia 
polynomista ja derivaatoista.

(b) K\"asittele polynomi funktiona.

\textbf{Huom:} 5 ehtoa ja 5 tuntematonta kerrointa $\implies$ j\"arkev\"an tuntuinen teht\"av\"a. Yleisesti ``j\"arkev\"all\"ak\"a\"an'' Hermiten interpolaatioteht\"av\"all\"a ei aina ole yksik\"asitteist\"a ratkaisua (kuten ei neli\"omatriisin m\"a\"ar\"a\"am\"all\"a lineaarisella yht\"al\"oryhm\"all\"ak\"a\"an -- siit\"ah\"an on kyse). Pelkki\"a funktion arvoja koskevalla interpolaatioteht\"av\"all\"a aina on (koska ``Vandermonden neli\"omatriisi'' on aina ei-singulaarinen). \\
T\"ass\"a opetellaan erityisesti Maplen k\"atev\"a\"a ratkaisutekniikkaa.



\end{tehtava}

\begin{vihje}
Kirjoita polynomi lausekkeeksi tyyliin:

 \verb_p:=a*x^4+b*x^3 + .... _,\\ 
miss\"a $a,b,\ldots, e$ ovat m\"a\"ar\"att\"av\"at kertoimet.



Derivaatta: \verb_diff_\\
Arvojen (x=0,x=1) sijoittaminen p:n lausekkeeseen: \texttt{subs}\\
Yht\"al\"on ratkaiseminen: \texttt{solve}

Kaikista saat tietoa n\"ain \verb_ ?diff_, ...

\end{vihje}
\end{Tehtava}
