Ohjeita Matlabin ODE-ratkaisijoihin

ODE = "Ordinary differential equations", eli tavalliset differentiaaliyhtälöt ja systeemit. (Suomeksi DYS) Tässä olevat Matlab-koodit voit leikata/liimata Matlab-istuntoon tai editoriin muokkauasta ja kokeiluja varten.

Differentiaaliyhtälöitä Matlab:lla
Matlab:n differentiaaliyhtälörartkaisijat ovat kappale hienointa Matlab:ia. Niihin on todella panostettu (ja panostetaan), ja jälki on sen mukaista. Ratkaisumenetelmät ovat numeerisia, kuten Matlab:ssa yleensäkin.
Matlab:n dokumentaatio: help ode45 tai doc ode45

ODE-ratkaisijan peruskäyttö heiluri-esimerkillä valaistuna
ode = "Ordinary Differential Equation"
Yleisratkaisija: ode45 , kaikkien ode-tyyppisten ratkaisijoiden kutsusyntaksi on sama, perusmuodossaan tässä tapauksessa
[t,Y]=ode45(@heiluri,Tvali,y0) ,
missä heiluri määrittelee diffyhtälösysteemin (esim. heiluri alla ja esim. Tvali=[0 10]; y0=[1;1];
Tee näin
Mene Matlab-istunnon ylänauhasta valitsemalla omaan työskentelyhakemistoosi. Ota Matlab:n FILE-valikosta NEW->m-file ja kirjoita (tai cut/paste): function dy = heiluri(t,y) dy=[y(2);-sin(y(1))]; Talleta funktio nimelle heiluri.m työskentelyhakemistoosi, Testaa funktiotasi tyyliin heiluri(1,[1,2]), heiluri(1,[pi/2,-5]), heiluri(1,[pi,-5]) Jos ihmettelet, mitä virkaa argumentilla t on, eihän sille tehdä mitään, niin vastaus on: "hyvä kysymys" ja sitten: Sen on oltava yhdenmukaisuuden vuoksi, koska ode45 vaatii , että diffyhtälösysteemin argumenttilista on aina samanlainen, esiintyypä siinä t tai ei, ts. onko systeemi autonominen tai ei. (Jos et heti sisäistä tätä, niin älä huoli, kunhan teet, mitä käsketään!) Pikku kokeilu Tvali=[0 10]; y0=[1;1]; [t,Y]=ode45(@heiluri,Tvali,y0); size(t) % Aikapistevektorin pisteiden lkm. size(Y) % Kaksisarakkeinen matriisi, ratkaisut y1 ja y2 aikapisteissä t. plot(t,Y(:,1),t,Y(:,2)) % Aikakuva figure plot(Y(:,1),Y(:,2)) % Faasikuva Yhdistetään mukaan suuntakentän piirto Suuntakentän piirtoa varten tarvitaan diffyhtälösysteemin määrittelemät derivaatat dy1 ja dy2. Ne annetaan 2. rivillä. Siihen voit editoida haluamasi muun 2 x 2 (autonomisen) ryhmän määrittelyn. close all [y1,y2]=meshgrid(-5:0.5:5,-5:0.5:5); % Koordinaattihilapisteistö dy1=y2; dy2=-sin(y1); % Heiluridiffyhtälöryhmän derivaatat hilapisteissä quiver(y1,y2,dy1,dy2) % Suuntanuolet hilapisteisiin derivaattojen suuntaan. Nyt voit piirtää lisää trajektoreita samaan kuvaan vaikka näin: ya0=[1;1]; yb0=[-5;2]; yc0=[5;-2]; % Kolme eri alkuarvovektoria Tvali=[0 10]; [ta,Ya]=ode45(@heiluri,Tvali,ya0); [tb,Yb]=ode45(@heiluri,Tvali,yb0); [tc,Yc]=ode45(@heiluri,Tvali,yc0); hold on plot(Ya(:,1),Ya(:,2),Yb(:,1),Yb(:,2),Yc(:,1),Yc(:,2)) axis equal; axis([-5 5 -5 5]) xlabel y_1(t); ylabel y_2(t)