\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
%\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3harj}
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}


\harjoitus{1 AV}{38}{19 -- 21.9.2005}, \textbf{alkuviikko}

Näihin harjoituksiin liittyvää oppimateriaalia:\\
Pruju: \texttt{http://www.math.hut.fi/teaching/k3/05/L/kompleksianalyysi\_osa1.pdf}
Päivittyy ja tulee Edita-jakoon.Älä printtaa yleisillä!\\
Oppikirja KRE8 CH 12 pykälät 6,...

Kurssin www-sivuja:\\
Pääsivu:  \texttt{http://www.math.hut.fi/teaching/k3/}\\%[2ex] 
Luentosivu:  \texttt{http://www.math.hut.fi/teaching/k3/05/L/}\\%[2ex] 
Harjoitussivu:  \texttt{http://www.math.hut.fi/teaching/k3/05/H/}\\ 




\subsubsection*{Tehtävät alkuviikkolle 38}
\begin{enumerate}

\item%1
\text {a)}  Esitä $e^z$ muodossa $u+i\, v$ ja määritä $|e^z|,$ 
kun $z= 2+3\pi\,i$. \\
\text{b)} Kirjoita kompleksiluku $1+i$ polaarimuotoon käyttäen eksponenttifunktiomerkintää.   \\
\text{c)} Tee sama juurille $\root 4 \of{-i}.$

\item %2
\text{a)} Osoita, että $\bar{(e^z)} = e^{\bar z}.$\\
\text{b)} Määritä kaikki kompleksiluvut $z,$ joilla $|e^{-z}| < 1.$



\item%6
Piirrä ja selvitä alla olevien kompleksitason käyrien tai alueiden 
tyyppi/luonne. (Jos olet tehnyt 3 kohtaa, voit merkitä rastin.)
\text {a)} $\Re(z^2)=1$, \quad
\text {b)} $\frac{1}{2} < |z-i-1| < 2$, \quad
\text {c)} $\Im\, \frac{i}{z} \leq 2$, \quad
\text {d)} $|z-i|+|z+i| = 4.$

\item %3
Tarkastellaan kuvausta $w=e^z.$ Piirrä alla annetut alueet $z-$tasoon ja
niiden kuva-alueet $w-$tasoon.
\text {a)} $-1 \leq x \leq 1,\ \ -\pi \leq y \leq \pi,$ \\
\text {b)} $0 < y < \pi/2,$ \qquad
\text {c)} $\ln \,0.1 < x < \ln\,5.$

\item %4
 Määritä pääarvot \text {a)} $\Log (-5)$ ja \text {b)} $\Log (-12 - 16\,i)$ \\
\text {c)}
Määritä kaikki arvot $\log e^{-i}$ ja merkitse joitakin tasoon.
 
\item %5
Piirrä napakoordinaateissa ilmaistu z-tason alue\\ $2 \leq |z| \leq 3,\ \ 
\pi/4 \leq \phi \leq \pi/2$ ja sen kuva kuvauksessa $w=\Log\,z.$



\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita, määritelmiä, kaavoja, ominaisuuksia}


\textbf{Eksponenttifunktio}

$$
e^z = e^x (\cos y + i \sin y),\ \ (z=x+i\,y)
$$

\textbf{Kuvaus $w=e^z$}

\begin{itemize}
\item[]
Jos $x=vakio=c$ ja $y_1 \leq y \leq y_2,$ niin $w$ kulkee pitkin 
$e^c$-säteistä ympyräviivaa piirtäen sektorin, jota rajaavat kulmat 
$y_1$ ja $y_2$.
%Siis pystyjanat kuvautuvat ympyräsektoreiksi.
\item[]
Jos $y=vakio=d$ ja $x_1 \leq x \leq x_2,$ niin $w$ kulkee pitkin puolisädettä,
joka muodostaa  $x$-akselin kanssa kulman $d$, piirtäen säteen osan, jota
rajaavat $e^{x_1}-$ ja $e^{x_2}-$ säteiset ympyrät. 
\end{itemize}

\textbf{Tasokäyristä}

Kompleksitason käyrä voidaan usein ilmaista muodossa, jossa esiintyy vaikkapa
$|z-z_0|.$ Kyseessä on $z:$n etäisyys $z_0:$sta, ja asia ei siitä selkiydy,
jos se kirjoitetaan koordinaattimuodossa $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$
(pikemminkin päinvastoin).

On toki tilanteita, jolloin koordinaattimuotoa ei voi välttää, vaan esim·
ympyrän tapauksessa johdutaan  muotoa $x^2+y^2+a\,x + b\,y + c = 0.$ 
olevaan yhtälöön.
Tällöin keskipiste ja säde saadaan neliöiksi
täydentämällä. (Kannattaa palauttaa mieleen kouluajoilta, samaa tekniikkaa tarvitaan 
myöhemminkin mm. Laplace-muunnosten yhteydessä.)

Palautetaan niinikään koulumuisteloista mieleen
\emph{ellipsin määritelmä}: Niiden pisteiden joukko, joiden etäisyyksien
summa kahdesta kiinteästä pisteestä (polttopisteet) on vakio ($=2\,a$).

\textbf{Logaritmi}

Eksponenttifunktion käänteisrelaatio (monihaarainen funktio).\\
$\Log\, z = \ln\,|z| + i\,\Arg\,z$; \quad logaritmin päähaara\\
$\log\, z = \ln\,|z| + i\,\arg\,z = \Log\,z + 2\,n\,\pi\,i,\ \ n\in\Z$; \quad
logaritmin kaikki arvot.

\end{document}

Luonnehdi geometrisesti piirroksen avulla seuraavat joukot ${\mathbb  C}$:ss\"a:

(a) $-\pi < \Im\, z \leq \pi,$ \quad (b) $|\Arg\, z | < \frac{\pi}{4},$

(c)$\frac{1}{2} < |z-i-1| < 2,$ \quad (d) $\Im\, \frac{1}{\bar{z}} \leq 1,\ \
z\neq 0.$

Mitkä joukoista ovat avoimia, mitkä suljettuja ja mitkä eivät ole kumpaakaan?

\item %6
Luennolla ja prujussa johdettiin kaava $\sin\, z = ...$. Johda vastaava kaava
kosinille.  Tai/ja 
Annettuna on kompleksifunktio $f$. Määrää funktiot $u=\Re\, f$
ja $v=\Im\, f$, ts. kirjoita $f$ muotoon \\
$f(x+iy)=u(x,y) + i v(x,y),$ kun 

(a) $f(z)=z^2+2z+2, $ \quad (b) $f(z)=\frac{z-2}{z+2}$
 


\end{enumerate}
\end{document}


(a) Olkoon $z_1=3+4\,i,\ \ z_2=5-2\,i.$\\
Määritä muodossa $x+i\,y$ lausekkeet 
 $(z_1-\bar{z_2})^2$ ja $\bar{\left({\frac{z_1}{z_2}}\right)},$

%(b)  Määritä $\Im\, \frac{2+3i}{3+4i}$, %(c) $z^2,$ kun $|z|=5$ ja $\Im\, z = -3$. \quad 
(b) Määritä $\Re\, \frac{z}{\overline{z}}$ ja $\Im\, \frac{z}{\overline{z}},$ 
kun $z=x+i\, y.$ 

\item%2
Lausu {\em De Moivre'n kaavaa} hyödyntäen $\cos 3\phi$ ja $\sin 3\phi$ 
$\cos \phi$:n ja  $\sin \phi$:n potenssien avulla.

\item %3
Määritä $\Arg\,z$ (argumentin pääarvo eli päähaara-arvo), kun
$z=$ (a) $1+i$, (b) $-1+i,$ (c) $-1-i,$ (d) $1-i.$

Lausu kukin myös muodossa $\bar{\arctan} \frac{y}{x} + k\,\pi, \ \ 
k=0,1,-1,$ missä $\bar{\arctan}$ tarkoittaa arkustangentin päähaaraa.


\item%4
Osoita, että $\sqrt{\frac{i}{2}} = \frac{1+i}{2},$ missä $\sqrt{z} $ 
tarkoittaa
neliöjuuren päähaaraa, ts. sitä, jonka argumentin päähaara on välillä
$\left(-\pi/2,\pi/2\right]$ %(eli $\Re\,w \geq 0$)

\item%5
%Laske ja piirrä kaikki juuret $\root 5 \of {1+i}$,
Määritä yhtälön $z^5 = -1-i\sqrt{3}$ kaikki ratkaisut $\C:$ssä.
(Huomaa, että saat tarvitsemasi argumentin tarkan arvon,
kunhan piirrät itsellesi tasasivuisen kolmion ja sille sivun keskinormaalin.)

\item%6
Olkoon $\omega$ juuren $\root n \of 1$ arvo, joka saadaan 
juurikaavasta, indeksillä $k=1$.


(a) Osoita, että kaikki ykkösen n:nnet juuret voidaan lausua muodossa
$1, \omega, \omega^2, \ldots \omega^{n-1}.$

(b) Osoita, että ykkösen n:nsien juurien summa = 0.
Vihje: Muista, että geometrisen summan kaava pätee yhtä hyvin 
kompleksialueella, ovathan laskusäännöt aivan samat.

(c) Tulkitse (b)-kohdan tulos geometrisesti.


\end{enumerate}


\subsection*{Perusasioita kompleksiluvuista}

\begin{itemize}
\item[] $z=x+iy = (x,y)$, $x=\Re\, z$, $y=\Im\, z$. 
Kyseessä on $xy$-tason pisteet, joille käytetään myös vektorimerkintää $x\,1+y\,i,$ missä $1$ on x-akselin ja $i$ on 
y-akselin suuntainen yksikkövektori. (Useimmiten kirjoitetaan $x+i\,y$.)\\
Kompleksitaso $\C$ on siis sama kuin reaalilukuparien taso $\R^2,$ mutta
kompleksiluvuille on lisäksi määritelty {\bf kertolasku}.
%Huom: $\Re\,z$ ja $\Im\,z$ovat {\bf reaalilukuja}.
%\item[] $z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2y_1)$

\item[] Laskusäännöt samat kuin reaaliluvuilla, lisäksi $i^2=-1$
\item[] Liittoluku: $\overline{z}=x-iy$
\item[] Moduli, eli itseisarvo: $|z|=\sqrt{x^2+y^2}= 
\sqrt{z\overline{z}}.$
\item[] Rationaalilauseke saadaan muotoon $\Re+i\Im$ 
{\bf laventamalla nimittäjän liittoluvulla}.
\item[] Yhtäsuuruus: $z_1 = z_2 \iff \Re\, z_1 = \Re\, z_2$ \& 
$\Im \, z_1 = \Im \, z_2$

\end{itemize}



\subsection*{Polaarimuoto}


\begin{center}
\includegraphics[height=3cm,width=4cm]{img/kuvapolar1.eps} \\
\textsc{Kompleksiluvun polaariesitys}
\end{center}

Kyse ei ole sen kummemmasta kuin kompleksiluvun (xy-tason pisteen) esittämisestä napakoordinaateissa. Nimitykset vain kalskahtavat ``tieteellisiltä'': napakulmaa kutsutaan {\em argumentiksi} ja napasäteen pituutta ($r$), eli pisteen 
$(x,y)$ etäisyyttä
origosta {\em moduliksi} eli {\em itseisarvoksi}.
\begin{itemize}
\item[] $z=r(\cos\,\phi + i \sin\,\phi)$, \quad 
$r=|z|$, $\phi=\arg\, z$
\item[] $\arg\, z$ on $2\pi:$n monikertaa vaille määrätty.
\item[] Argumentin \emph{päähaara} $\Arg\,z$ on välillä $(-\pi,\pi\rbrack$
\item[] Yhtäsuuruus: $z_1=z_2 \iff |z_1|=|z_2|$ \& 
$\arg\, z_1 = \arg\, z_2 + 2k\pi.$
\end{itemize}

{\bf Huom:} Jos napasäde $r$ on annettu, niin argumentti $\arg\,z$ määrää
kompleksiluvun yksikäsitteisesti. Kääntäen kompleksiluku ei määrää argumenttia
kuin $2\pi:$n monikertaa vaille. (Tämän yksinkertaisen asian toistaminen tuntuu
ehkä jankkaamiselta, mutta tämä seikka vaikuttaa monessa ...)

%\end{slide}

%\end{document}

%\begin{slide}
\subsubsection*{Argumentin määrääminen}

\begin{itemize}

\item[]
Annettu $z=x+iy,$ katsotaan $x$:n ja $y:$n merkkien perusteella, mihin koordinaattineljännekseen $z$ kuuluu. Määrätään tämän neljänneksen kulma $\phi,$ jolle
$\tan\, \phi = y/x.$ \\
(Siis $\Arg\, z=\overline{\arctan\, \frac{y}{x}}$, johon voidaan joutua lisäämään
$\pm \pi$.) 
\end{itemize}

%\end{slide}

%\begin{slide}

\subsubsection*{Kerto- ja jakolasku (kannattaa) polaarimuodossa}


\begin{itemize}
\item[] Modulit kerrotaan ja argumentit lasketaan yhteen.
(Argumentin päähaaralle päästään $2\pi:n$ monikertaa vaille.)

\item[] Jaettaessa vastaavasti jaetaan ja vähennetään.

\end{itemize}

%\end{slide}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{slide}
\subsection*{Potenssit, De Moivre'n kaava}

Yllä olevasta kertolaskuperiaatteesta seuraa heti:
%\begin{itemize}

%\item[]
$$z^n = r^n(\cos n\, \phi + i\, \sin n\phi).$$

Erityisesti valitsemalla $r=1,$ saadaan \emph{De Moivre'n} kaava:

%$$\framebox{(\cos \phi + i\, \sin \phi)^n = (\cos n\, \phi + i\, \sin n\phi).}$$
$$(\cos \phi + i\, \sin \phi)^n = (\cos n\, \phi + i\, \sin n\phi).$$


%\item[]


%\end{itemize}



%\end{slide}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{slide}

\subsection*{Juuret}

Olkoon $n\in \N.$
Annettu $z\in \C$, määrättävä $w$ siten, että $w^n = z$.
Polaarimuodosta saadaan ratkaisu suoraan.

 $\root n \of z$ on kompleksiluku $w$, jolle:

\[
\begin{cases}
|w| = \root n \of {|z|} \\
\Arg\,w = \frac{\Arg\,z}{n} + k \frac{2\pi}{n}, k=0,\ldots,n-1.
\end{cases}
\]

Jokaisella kompleksiluvulla $z\neq 0$ on $n$ erillistä n:ttä juurta.\\
\vskip 0.5mm
%\begin{center}
\includegraphics[width=26mm]{img/njuuri.eps}
%\caption{$\root 7 \of{1+i}$}\label{njuuri}
Luvun $z=1+i$\quad $7$:nnet juuret $w_0,\ldots,w_6.$
%\end{center}

%\end{slide}
%%%%%%%%%%%

\end{document}

\subsubsection*{Alkuviikko 38 (AV)}

\begin{enumerate}

\item%1

\end{enumerate}




\begin{enumerate}

\item%1

\end{enumerate}

\end{document}

\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}

\item%1

(a) Määritä $\Im\, \frac{2+3i}{3+4i}$, (b) $z^2,$ kun
$|z|=5$ ja $\Im\, z = -3$,
(c) $\Im\, \frac{z}{\overline{z}},$ kun $z=x+i y.$ 

Havainnollista piirroksin.

\item %2
Määritä $|z|$ ja $\Arg\, z$, 
kun $z=\frac{2-i(3-2i)^2}{2+i(1+i)}$ ja merkitse $z$ kompleksitasoon.


\item %3
Johda \emph{De Moivre'n} kaavan avulla $\cos 3\phi$ ja $\sin 3\phi$
lausuttuna $\cos \phi:$n ja $\sin \phi:$n potenssien avulla.

\item %4
Määritä yhtälön $z^5 = -1-i\sqrt{3}$ kaikki ratkaisut $\C:$ssä.
(Huomaa, että saat tarvitsemasi argumentin tarkan arvon,
kunhan piirrät itsellesi tasasivuisen kolmion ja sille sivun keskinormaalin.)

\item %5
a) Totea, että geometrisen summan kaava
\[
1+z+\dots + z^n =\frac{1-z^{n+1}}{1-z}, \ \  z\neq 1,
\]
on voimassa myös kompleksiluvuille.\\
b) 
Osoita, että ykkösen n:nsien juurien summa $=0$, eli 
$\sum_{k=0}^{n-1} w_{n,k}=0,$ missä 
$w_{n,k}=\cos \frac{2k\pi}{n}+i \sin \frac{2k\pi}{n}\ \ (=e^{i2k\pi/n})$.

\footnote{Merkintä $z=Re^{i \phi}$ on oikeastaan ``sallittu'' vasta sen jälkeen,
kun kompleksinen exp-funktio on määritelty (vrt. LV teht. 6). 
Toisaalta sitä voidaan ennakoivasti
pitää lyhennysmerkintänä polaarimuodossa esitetylle kompleksiluvulle $z=R(\cos \phi + i\sin \phi).$}

Ilmaise tulos geometrisesti.


\item %6
Luonnehdi geometrisesti piirroksen avulla seuraavat joukot ${\mathbb  C}$:ss\"a:

(a) $-\pi \leq \Im\, z \leq \pi,$ \quad (b) $|\Arg\, z | < \frac{\pi}{4},$

(c)$\frac{1}{2} < |z-i-1| < 2,$ \quad (d) $\Re\, \frac{1}{z} \leq 1.$

Mitkä joukoista ovat avoimia, mitkä suljettuja. (Huomaa, että yleisesti
joukko ei välttämättä ole kumpaakaan.)


\end{enumerate}

\subsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}

\item
Annettuna on kompleksifunktio $f$. Määrää funktiot $u=\Re\, f$
ja $v=\Im\, f$, ts. kirjoita $f$ muotoon \\
$f(x+iy)=u(x,y) + i v(x,y),$ kun 

(a) $f(z)=z^2+2z+2, $ \quad (b) $f(z)=\frac{z-2}{z+2}$
 

\item
(a)
Laske funktion $f(z)=\frac{z-i}{z+i}$ derivaatta pisteessä $z=i.$

(b)
Määritä funktion $f(z)=\frac{iz+2}{3z-6i}$ derivaatta yleisessä pisteessä $z$. Selitä tulos sieventämällä $f(z):$n lauseketta. Sijoita
$z=x+iy$, niin näet.

Pohdittavaksi (vapaaehtoisesti): 
Päteekö reaalialueelta tuttu lause kompleksifunktioille? 

\item

%(a)
Osoita (suoraan määritelmän perusteella), 
että funktio $f(z)=\Re\, z = x$ ei ole derivoituva missään
pisteessä $z$.

%(b)
%Osoita suoraan derivaatan määritelmän perusteella (ei siis Cauchy-Riemannia), 
%että funktio $f(z)=|z|^2$ on derivoituva vain pisteessä
%$z=0.$ Johtopäätös: $f$ ei ole analyyttinen missään. (Selitä!)
 
%Ohje: Käytä kaavaa: $|z|^2=z \overline{z}$. Kirjoita erotus

%$f(x+h)-f(x)$ tämän avulla. Kun vielä jaat $h:$lla, saanet mm.
%muotoa $\frac{\overline{h}}{h}$ olevan kertoimen, jos $z\neq 0$. 
%Siitäpä se ...



%Kun lausut sen
%napakoordinaateissa, huomaat, että tulos riippuu napakulmasta
%$\phi$ ($h$:n argumentista). Riittää toki antaa $h:n$ lähestyä
%toisaalta pitkin $\Re-$akselin ja toisaalta pitkin $\Im-$akselin
%suuntaista reittiä.
%(Tulipa valmiiksi neuvottu, mutta sitä suuremmalla syyllä kannattaa
%tehdä nuo vaiheet.)


\item
 Osoita funktion $f(z)=\frac{1}{z}$ analyyttisyys joukossa 
$\C \backslash \{0\} $ CR-yhtälöiden \footnote{CR tarkoittaa 
\textit{Cauchy--Riemann}}
avulla ja johda derivaatan $f'(z)$
kaava.

%(b) Osoita CR-yhtälöiden avulla edellisen tehtävän kohdan (b) tulos.
\item
Osoita CR-yhtälöiden avulla, että 
$f(z)=|z|^2$ on derivoituva vain pisteessä $z=0.$

Johtopäätös: $f$ ei ole analyyttinen missään. (Selitä!)

Kommentti: Tehtävä 4 on CR-yhtälöiden ``väärinkäyttöä'', 
sen tarkoitus on olla opettavainen. (Siis helppo tehtävä voidaan laskea 
myös vaikeamman kautta, mutta ihmettele kuitenkin, kuinka teoria toimii
ihan oikeasti!)\\
Tehtävä 5 on esimerkki päinvastaisesta ilmiöstä, tässä CR-yhtälöiden käyttö
helpottaa ja mekanisoi ratkaisua.


\item
Määritellään funktio $f(z)=e^x(\cos\, y + i \sin\, y),$ missä tavanomaiseen
tapaan $z=x+iy.$ {\tiny (Voisimme sanoa, että määrittelimme juuri kompleksisen
eksponenttifunktion, mutta asiasta kannattaa nostaa isompi haloo, 
jätetään luennolla hehkutettavaksi.})

Osoita CR-yhtälöiden avulla, %(CR=Cauhcy--Riemann)
että funktio $f$ on koko
kompleksitasossa derivoituva ja siis analyyttinen, ja määritä sen derivaatta.

\end{enumerate}

\end{document}

\item
Osoita, että funktio $u(x,y)=\frac{x}{x^2 + y^2}$ on harmoninen ($\R^2\backslash \{0\}:$ssa), ja määritä sen liittofunktio $v(x,y)$, ts. määritä
analyyttinen funktio $f$, jonka reaaliosa on $u$.








%\vskip 1cm
%\vskip \baselineskip
%\vskip \bigskip

%{\bf a)} $ |z+i| > 1$, \quad {\bf b)} $1 < |z-1| <3 $  \quad {\bf c)}  $|z-1|+|z-i|\le 2$, \quad
%{\bf d)} $Re(z^2)=1$.






%\item %5
%a) Osoita, että $\overline{e^z} = e^{\overline{z}}$. \\
%b) Määritä kaikki kompleksiluvut $z$, joilla $e^z$ on reaalinen. Havainnollista kuvalla.


%\item %6
%Lähtemällä eksponenttifunktion määritelmästä, 
%määritä kaikki yhtälön $e^z = -1$ ratkaisut ja havainnollista ratkaisujoukkoa piirroksella.


%\item %5
%a) Laske $\Ln(4+3i)$  (päähaara-arvo) \\
%b) Määritä yhtälön $\cos z = 3 i$ kaikki ratkaisut.

%\item %6
%Hahmottele alue $2 \leq |z| \leq 3, \pi/4 \leq \phi \leq \pi/3 $ ja sen kuva kuvauksessa $w = \Ln z$.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item joo



\end{enumerate}


\end{document}







\item {[D] (puhdas käsinlasku)} 
Kompleksiluvulla $e^{i\alpha}$ kertominen suorittaa kierron kulman
$\alpha$ verran.
Kyseessä on tason $\R^2$ lineaarikuvaus, jolla
niin ollen on matriisiesitys. (Muistele 1-kurssien asioita, lineaarikuvauksia
käsitellään tälläkin kurssilla lähemmin.)
 
Johda kiertokuvauksen matriisiesitys muodostamalla tulo
$w=e^{i\alpha} z$, $z=x+iy=re^{i\Theta}$ 

Ohje: Ei tarvitse muuta kuin kirjoittaa $e^{i\alpha}(x+iy)$ muotoon
$\textit{Re} + i \textit{Im}$ ja samaistaa kompleksiluku $x+iy$ pystyvektorin $[x,y]^T$
kanssa.

Opetus: Kiertokuvauksia (ja eräitä muitakin tason lineaarikuvauksia)
voidaan käsitellä erityisen kätevästi kompleksiaritmetiikan avulla.
Matriisilaskujen sijasta voidaan harrastaa kompleksiaritmetiikkaa.

Seuraavassa tehtävässä harrastetaan tätä oikein olan takaa.

%Olennaista on, että käytössä on ohjelma, joka osaa laskea kompleksisilla
%vektoreilla. Matlab on tällainen (myös  Maple ja  Mathematica).


\item
Alla on versio kuuluisan matemaatikon \textit{Arnoldin} ns. kissaa, jonka
toteutamme Matlabilla varsin yksinkertaisena tyylitelmänä.
Harjoituksen ajatuksena on demonstroida kompleksiaritmetiikan mahdollisuuksia
kiertokuvauksien käsittelyssä. Samalla saamme rutiinia niin Matlabissa kuin
yleensäkin kompleksiluvuilla laskemisessa.

Käsittelemme tässä kissaa tavallisuudesta poiketen kompleksilukuvektorina.

Tehtävässä ei ole jätetty juurikaan itse keksittävää. 
Niinpä jos aika on tiukalla, tämä tehtävä sopii oikein hyvin omatoimisesti
läpikäytäväksi vaikka kotona. 

Selvitä itsellesi juurta
jaksain, mitä kussakin vaiheessa tehdään. Kissa ja sen pyöritys on
pelkkää kompleksiaritmetiikkaa.

Komennot on annettu ``ideointiyyliin'', siksi koodia on niin paljon.

Suorita ensin nämä komennot: (Huomaa puolipisteen käyttö, 
jos dataa on ``vähänkin paljon''.)

\begin{verbatim}
clf              % clear graphics
t=0:pi/100:2*pi; % tai esim. t=linspace(0,2*pi); 
paa=.1*exp(i*t);
plot(paa)
axis equal
hold on
silmat=[-0.05+i*.055, 0.05+i*.055]
plot(silmat,'+')
nena=.02*i+.003*exp(i*t);% t-vektori muodostettiin yllä.
plot(nena,'r')
%nena=.02*i
%plot(nena,'o')  % Tämä olisi ``laiskan miehen nenä''
% Suuksi sopiva ympyrän kaari välillä (-2*pi/3,-pi/3)
phi=linspace(-2*pi/3,-pi/3);
suu=0.05*exp(i*phi);
plot(suu,'.')
korvat=[.1*exp(i*pi/6),.1*exp(i*5*pi/6)]
plot(korvat,'o') % ``Laiskan miehen korvat''
\end{verbatim}
Tässä on peruskissa.

Nyt ryhdymme pyörittelemään kissaparkaa.
Päätä ei tarvitse pyörittää, ympyrä ei pyöritettäessä miksikään muutu.
Riittää, kun pyöritämme suuta, nenää, silmiä ja korvia.

Kootaan ensin kissan osat yhteen vektoriin ja tehdään äskeinen uudestaan
kissavektorilla.

\begin{verbatim}
figure(1)   % Tätä tarvitaan vain palattaessa takaisin kuvasta 2.
% Ajatellaan, että figure(1) on z-taso ja figure(2) w-taso.
clf              % Grafiikan putsaus     
t=0:pi/100:2*pi; % Syytä tehdä uudestaan, vanha t voisi olla jo ihan muuta
paa=.1*exp(i*t);    % vaikkei näillä komennoilla satukaan.
plot(paa)
axis equal
hold on
zkissa=[silmat,nena,korvat,suu];
plot(zkissa,'or')  % Pelkät pisteet merkillä 'o' värillä 'r'
\end{verbatim}

Avataan uusi grafiikkaikkuna ja piirretään siihen kierrettyjä kissoja.

\begin{verbatim}
figure(2)  % w-taso
clf
wkissa=exp(i*pi/4)*zkissa
paa=.1*exp(i*t);
plot(paa)
axis equal
hold on
plot(wkissa,'or')
shg     % show graphics
\end{verbatim}
Nyt voit jatkaa kissaleikkiä alla olevaan tyyliin tai jotenkin muuten.
Helpointa ja opettavaisinta on kirjoittaa Matlabin editorilla alla
olevat rivit (ja mahdollisesti myös zkissarivit) omien mieltymystesi
mukaan modifioiden tiedostoon {\tt kissa.m}.
Kun tiedosto on polun varrella, voit sanoa istunnossasi {\tt kissa},
editoida {\tt kissa.m}:ää ja taas komentaa kissaa.


\begin{verbatim}
clf
alpha=pi/4;  % Kiertokulma, helppo muutella.
wkissa=exp(i*pi/4)*wkissa
paa=.1*exp(i*t);
plot(paa)
axis equal
hold on
plot(wkissa,'or')
shg
\end{verbatim}


Seuraavaksi jo sormet syyhyävät kissan käsittelyyn matriisina ja 
kiertomatriisilla kerrottuna (vrt. [D]-teht. 5).
Maltamme kuitenkin mielemme ja jätämme seuraavaan kertaan.

Palannemme kissaan muutenkin yleisempien lineaarikuvausten yhteydessä, 
tällöin saatamme kaltoin kohdella sitä paljon enemmän, anteeksi
kissa!

\end{enumerate}

\end{document}





\item
Matlab on ennenkaikkea matriisikieli. Jos kompleksiaritmetiikka sujuu käteväti,
niin samoin on laita matriisilaskujen.
Katsotaan siksi vielä, miten edellinen hoidettaisin matriisioperaatioin.
(Vrt. teht. 4)
Näin saadaan malli myös yleisemmille linaarikuvauksille.

Tällä kerralla esitämme kissan tavanomaisemmassa muodossa kaksirivisenä
reaalisena matriisina, jossa kukin sarake edustaa kissan pistettä $\R^2$:ssa.

Olkoon {\tt zkissa} kuten edellä.
\begin{verbatim}
alpha=pi/4;   % muuttele tarpeen mukaan.
A=[cos(alpha), -sin(alpha);sin(alpha),cos(alpha)] % Kiertomatriisi.
zkissa=[real(zkissa);imag(zkissa)]; % zkissasamaistus C <-> R^2
wkissa=A*zkissa; % Mahtavan kätevää on tämäkin. Kun zkissapisteet ovat
            % matriisin sarakkeina, niin kertomalla kiertomatriisilla A,
            % saadaan wkissapisteiden muodostama matriisi.
figure(1); clf
plot(zkissa(1,:),zkissa(2,:),'o') % Tämä on kaikkein tavallisin plot-
                                  % komennon muoto, kun data on reaalista.
axis equal
figure(2); clf
plot(wkissa(1,:),wkissa(2,:),'*r')
\end{verbatim}

\begin{verbatim}


>> z=2+3*i

z =

   2.0000 + 3.0000i

>> plot(z)
>> plot(z,'*')
>> axis([0 4 0 4])
>> hold on
>> plot([0 z])
>> abs(z)

ans =

    3.6056

>> angle(z)

ans =

    0.9828

>> atan(3/2)

ans =

    0.9828

\end{verbatim}



\end{enumerate}

\end{document}