\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
Rungen-Kutan menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on huomattavasti kehittynyt versio Eulerin menetelmästä. Menetelmässä määritellään seuraavasti:
\[
\begin{array}{l }
k_1 = f(x_n, y_n),\\
k_2= f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{1}{2}hk_1),\\
k_3= f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{1}{2}hk_2),\\
k_4= f(x_n+h,y_n+hk_3).\\
\end{array}
\]
Diskretointiaskeleeksi tulee nyt 
\[
y_{n+1} = y_n+hk = y_n+ \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2+2k_3+k_4).
\]
\begin{itemize}
\item[a)] Ratkaise edellisen tehtävän yhtälö 
\[
y'(t) = y(t) \sin(t); y(0)=1.
\]
käyttämällä Rungen-Kutan menetelmää. Vertaa tulosta sekä todelliseen ratkaisuun $y(t)=e^{1-cos(t)}  $, että Eulerin menetelmällä saavutettuun. Mitä huomaat tarvittavasta askelkoosta?
\item[b)] Ratkaise alkuarvotehtävä 
\[
y'(t) = \sqrt{1-y^2}; y(0) = 0
\]
käyttämällä Rungen-Kutan menetelmää. 
\end{itemize}
\end{tehtava}
\begin{vihje}

\end{vihje}
\end{Tehtava}
