\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
Eulerin menetelmä on klassinen menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Menetelmän lähtökohtana on yhtälö 
\[
y'(t) = f(t,y(t)); y(t_0)= y_0,
\]
josta koetetaan ratkaista $y(t)$ kun $t= [t_0, t_n]$. Menetelmä perustuu $t$:n diskretoinnille: $t$ muunnetaan joksikin vektoriksi $T = (t_0, t_0+h, \ldots, t_n)$, jonka jälkeen koetetaa etsiä vastaavia arvoja $y(t_0+ih)$. Merkintöjen selvyyden vuoksi kirjoitetaan $t_0+jh = t_j$. Eulerin menetelmässä approksimoidaan arvoa $y(t_i)$ seuraavasti:
\[
y(t_i) = y(t_{i-1})+ h * f(t_{i-1},y(t_{i-1})). 
\]

Ratkaise Eulerin menetelmällä differentiaaliyhtälö 
\[
y'(t) = y(t) \sin(t).
\]
Käytä eri $h$:n arvoja, ja vertaa oikeaan ratkaisuun $e^{1-\cos(t)}$. 
\end{tehtava}
\begin{vihje}
Eulerin menetelmä MATLABissa on helpointa toteuttaa yksinkertaisena silmukkana. Olettaen, että yhtälön oikea puoli on kirjoitettu funktioon \texttt{f(t,y)}, Euler-iteraatio voidaan tehdä seuraavasti:
\begin{verbatim}
for n = 2:length(t)
    y(n) = y(n-1)+h*f(t(n-1),y(n-1));
end
\end{verbatim}
missä $t$ on vektori joka on ratkaisuvälin diskretointi, ja $h$ on $t$:n pisteiden välinen etäisyys.
\end{vihje}
\end{Tehtava}
